Question

对于自然数1,2,3...,n有1³+2³+3³+...+n³=[n(n+1)／2]²成立，即1³+2³+

针对此等式我们提出一个问题，如果数列｛an｝,有an＞0，且满足等式（a1³+a2³+....+an³)=(a1+a2+a3+..+an)²,是否有an=n成立？如果成立证明，否则举反例

Answer 1

是成立的。证明如下：
记Sn=a1+a2+a3+..+an；
由题有：（a1³+a2³+....+an³)=(Sn)²
（a1³+a2³+....+an-1³)=(Sn-1)²
两式相减得
(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=an³,即(Sn+Sn-1)an=an³,所以Sn+Sn-1=an²
所以Sn+Sn-1=Sn+Sn-an=an²
即2Sn=an²+an
2Sn-1=an-1²+an-1
两式相减得
2an=an²-an-1²+an-an-1
(an+an-1)(an-an-1-1)=0
由于数列各项>0,所以an-an-1-1=0，即an-an-1=1
即数列｛an｝为等差数列，而n=1时有a1³=a1²,所以a1=1
故有通项an=n成立。