Question

2007*2008*2009*2010+1是不是完全平方数

Answer 1

是完全平方数
2007*2008*2009*2010+1
=(2008.5-1.5)×(2008.5-0.5)×(2008.5-0.5)×(2008.5+1.5)+1
=(2008.5-1.5)×(2008.5+1.5)×(2008.5-0.5)×(2008.5-0.5)＋1
=(2008.5²-1.5²)×(2008.5²-0.5²)+1
=(2008.5²)²-(1.5²+0.5²)×2008.5²+1.5²×0.5²+1
=(2008.5²)²-2.5×2008.5²+1.25²
=(2008.5²-1.25)²
=[(2008+0.5)²-1.25]²
=(2008²+2×2008×0.5+0.5²-1.25)²
=(2008²+2008-1)²
=(2008²+2007)²
所以2007*2008*2009*2010+1是完全平方数。

Answer 2

是的
该式可以看作是 X(X+1)(X+2)(X+3)+1=X^4+6X^3+11X^2+6x+1
若是可以化作完全平方数，则假设化为 （X^2+aX+b)^2=X^4+2aX^3+(a^2+2b)X^2+2abX+b^2
两式相等，对应的系数相等，所以有
2a=6 a^2+2b=11 2ab=6 b^2=1
所以a=3 ，b=1
即该式可以化作完全平方数（若是不能，则a，b是虚值或是不存在）
所以原式可以化作（2007^2+3*2007+1)^2

Answer 3

设n=2008，则有
2007*2008*2009*2010+1
=(n-1)n(n+1)(n+2)+1
=[(n-1)(n+2)][n(n+1)]+1
=(n^2+n-2)(n^2+n)+1
=(n^2+n)^2-2(n^2+n)+1
=(n^2+n-1)^2
=(2008^2+2008-1)^2
=4034071^2
是一个完全平方数。

Answer 4

2007*2008*2009*2010+1
=2007*(2007+1)*(2007+2)*(2007+3)+1
=(2007*2007+3*2007)*(2007*2007+3*2007+2)+1
=(2007*2007+3*2007+1-1)*(2007*2007+3*2007+1+1)+1
=(2007*2007+3*2007+1)*(2007*2007+3*2007+1)-1+1
=(2007*2007+3*2007+1)*(2007*2007+3*2007+1)
是完全平方数

Answer 5

设a=2009
原式=(a-2)(a-1)a(a+1)+1
=a^4-2a^3-a^2+2a+1
=(a^2-a-1)^2
故为完全平方数，只要是四个连乘加一都可以的