Question

数列{An}中,A1=1,A(n+1)=2an+1。

1.求{An}的通项公式。
2.设Cn=(n+1)/(An+1)求{Cn}的前n项和Sn。

Answer 1

1.由A(n+1)=2An+1两边同时加1得，
A(n+1)+1=2An+2=2（An+1），
所以 [A(n+1)+1]/(An+1)=2，又An=1，An+1=2
因此数列(An+1)是一个以2为首项，2为公比的等比数列，
其通项公式为：An+1=2^n，（2的n次方）
所以An=2^n-1.
2.Cn=(n+1)/(An+1)=(n+1)/2^n，C(n-1)=n/2^(n-1)，C1=1
则2Cn-C(n-1)=2(n+1)/2^n-n/2^(n-1)=(n+1)/2^(n-1)-n/2^(n-1)=1/2^(n-1)，采用叠加法，
得到：2（Cn+C(n-1)+C(n-2)+...+C2）-（C(n-1)+C(n-2)+...+C1）=[1-(1/2)^(n-1)]*2
所以，2（Sn-C1）-（Sn-Cn）=[1-(1/2)^(n-1)]*2=2-1/2^(n-2)
即，Sn=2-1/2^n+2C1-Cn=2-1/2^(n-2)+2-(n+1)/2^n=4-(n+5)/2^n。
方法就是这样了，下标太乱，不知道有没有出问题