Question

线性代数：相似矩阵的问题

如果两个矩阵相似，那么他们就是在不同基表示下的一同一个矩阵，从而可以通过p-1AP的方式来通过变化基来让两个矩阵一样。那么问题就是：为什么P-1、P来乘A可以完成这一种坐标的变化呢？这个机制是什么样子的呢？
同理：等价与合同也最好能一起解释下，有加分。
谢谢。

Answer 1

相似的好处很多，最大的好处是通过相似可以让任何一个矩阵变为若当标准型。若当标准型是尽可能最简单的一种矩阵，这中矩阵在运算上有许多方便之处。
相似矩阵间有很多相同的性质，比如秩，行列式，迹（对角线之和），特征值，特征多项式，初等因子都相同。一个矩阵很重要的一点就是他的特征值。通过相似变换，可以转而研究一个结构简单得多的矩阵的特征值的性质。
合同是指，存在可逆矩阵P，P转置AP=B，则A与B合同。等价是一种关系，只要满足反身性，对称性，传递性就是等价。合同和相似都是等价关系。

追问

相似的好处我都知道，但是我就是不知道为什么通过P逆与P的作用下可以让两个矩阵变成一样的。为什么选择了P逆与P……而没选别的，这个本质是什么？

追答

为了特征值相同呗
P-1|aE-A|P=|aP-1EP-P-1AP|=|aE-P-1AP|

追问

好像有点理解了，您解释具体一点。

追答

前面不是说了吗，相似最重要的性质就是相似矩阵的特征值相同，而若当标准型也是基本就是特征值组成的。所以特征值是关键。
设A，B相似，B=P-1AP
|B-rE|=|P-1AP - P-1rEP|=|P-1( A-rE )P|=|P-1| |A-rE| |P|=|A-rE|
其中r就是某个特征值

还有A与B相似，那么B也与A相似。若B=P-1AP
则令Q=P-1，则Q-1BQ=A，

还有就是修改一点，我突然想起来矩阵里也有个等价矩阵。所谓等价矩阵，就是又相同的秩。所以合同和相似都是等价矩阵。我个人认为等价矩阵的概念其实就是矩阵间满足等价关系的最低条件

追问

这个证明看懂了，但是觉得这样说明还是不是很充分……用特征值相同来说明两个矩阵相似，能反映出两个矩阵是不同基下的同一矩阵吗？

追答

线性变换f，基a=（a1,a2, ... an），基b=(b1,b2, ... bn)，过渡矩阵X
若线性变换f在两组基下矩阵分别为A和B，那么有B=X-1 A X

f(a)=aA
f(b)=bB
b=aX
f(b)=f(aX)=aAX=bX-1 A X
所以B=X-1 A X

Answer 2

像你所说的，两个相似矩阵就是在不同基表示下的一同一个线性变换，那么P可以看作基变换矩阵，p-1AP相当于先作一个基变换P，然后做线性变换A，再做逆基变换P-1
等价和合同什么的都是一样的

追问

p-1AP相当于先作一个基变换P，然后做线性变换A，再做逆基变换P-1
那为什么要用P-1与P来变换呢？为什么不是P-1 与别的呢？我就是不懂基变换为什么要选P逆与P……

追答

P只是一个随便定的矩阵
两组基之间从第一组变换到第二组的变换矩阵如果是P，那么从第二组变回第一组一定是P-1

追问

两组基之间从第一组变换到第二组的变换矩阵如果是P，那么从第二组变回第一组一定是P-1:
如P-1AP=B就是对A做了P-1以及P的变化变成B了，怎么涉及到第二组变回第一组？我不是太理解您说的~

追答

p-1AP相当于先作一个基变换P，然后做线性变换A，再做逆基变换P-1
就是先把第一组基变成第二组，然后线性变换A，然后再变回来，这个过程和直接对第一组基做线性变换是一样的，所以和矩阵B是相等的

追问

还是没太明白，您能举个例子么？谢谢您了。我线性代数的基础有点差。。。

追答

这个例子你随便找两个相似矩阵对照着看一下就可以了
把所有的矩阵看作是线性变换的一种表示方法
多思考一下，很容易的

Answer 3

消息我吧.

Answer 4