Question

在OAB中，向量OC=1/4向量OA，向量OD=1/2OB，AD与BC交于点M，设向量OA=a，向量OB=b

在OAB中，向量OC=1/4向量OA，向量OD=1/2OB，AD与BC交于点M，设向量OA=a，向量OB=b，
1。以a,b为基底表示向量OM
2。在线段AC上取一点E，线段BD上取一点F,使EF过点M，设向量OE=λ向量OA，OF=μ向量OB。求证：1/7λ+3/7μ=1

Answer 1

(1)因为A、D、M三点共线,B、D、M三点共线
向量OM=λ向量OD+(1-λ)向量OA=(λ/2)b+(1-λ)a
=μ向量OC+(1-μ)向量OB=(μ/4)a+(1-u)b
因为a、b不共线
所以有λ/2=1-u,1-λ=μ/4
解得λ=6/7,μ=4/7
所以向量OM=(1/7)a+(3/7)b
(2)因为E、F、M三点共线
所以向量OM=t向量OE+(1-t)向量OF=tpa+(1-t)qb=(1/7)a+(3/7)b
因为a、b不共线
所以有tp=1/7,(1-t)q=3/7
代入得1/(7p)+3/(7q)=t+(1-t)=1
1/(7p)+3/(7q)=1得证

Answer 2

（1）设向量DM=λ向量DA,向量CM=μ向量CB
向量OM=向量OD+向量DM=1/2向量OB+λ向量DA=1/2向量OB+λ(向量OA-向量OD)=1/2向量OB+λ(向量OA-1/2向量OB)=λ向量OA+(1-λ)/2向量OB
向量OM=向量OC+向量CM=1/4向量OA+μ向量CB=1/4向量OA+μ(向量OB-向量OC)=1/4向量OA+μ(向量OB-1/4向量OA)=(1-μ)/4向量OA+μ向量OB
∴λ向量OA+(1-λ)/2向量OB=(1-μ)/4向量OA+μ向量OB
得λ=(1-μ)/4 μ=(1-λ)/2
∴λ=1/7,μ=3/7
OM=1/7向量OA+3/7向量OB=1/7向量a+3/7向量b
（2）∵E、F、M三点共线
∴向量OM=x向量OE+（1-x）向量OF=xλ向量a+（1-x）μ向量b=1/7向量a+3/7向量b
∵向量a与向量b不共线
∴xλ=1/7 （1-x）μ=3/7
∴1/（7λ）+3/（7μ）=x+（1-x）=1
∴1/（7λ）+3/（7μ）=1