Question

求高数大神解答。

选择题第四题怎么考虑。。。

Answer 1

首先，这个题的D选项有问题，前边没有那个=0。
一个函数在某一点的函数值和导函数值没什么关系，所以排除掉A和C
考虑B和D，很显然D可以随便找一个三角函数（当然是指有界的），有些导函数趋近于0+的值是0，有些不是，所以D是错的。
现在可以直接选B了。
但还是要证一下。
假设f'(x)在x趋近于正无穷的时候，值趋近于一个非零常数A，则由极限定义：
∀ε>0，∃X>0，当x-X>0时，使得|f'(x)-A|<ε

A-ε<f'(x)<A+ε
取ε=A/2，则可得A/2<f'(x)<3A/2
由拉格朗日中值定理可以得到：在区间[X,x]上，
f(x)-f(X)=f'(ξ)(x-X)，用A/2替换f'(ξ)
f(x)-f(X)>A/2*(x-X)
f(x)>A/2*(x-X)+f(X)
当x趋向于∞时，x-X趋向于无穷大，A/2不为0，所以A/2*(x-X)+f(X)趋向于无穷大，所以f(x)比∞还要大，与条件的有界是不相符的，所以A只能得0。至于之前为什么要设ε为A/2，只是习惯问题，也可以设A/3，只要使得A-ε这个数字不为0即可。

追问

谢谢你！