Question

(a^n*n!)/n^n的级数收敛还是发散。判断过程。

有两个答案不知道那个是对的

a^n*n!/n^n

{a^(n+1) * (n+1)!/[(n+1)^(n+1)]}/[n!/(n^n)*a^n]
　　= a*(n^n)/[(n+1)^n]
　　= a/[(1+1/n)^n]
　　→ a/e (n→∞)

//============答案2==============================
a^n*n!/n^n

{a^(n+1) * (n+1)!/[(n+1)^(n+1)]}/[n!/(n^n)*a^n]
　　= a*(n^(n+1)+n^n)/[(n+1)^(n+1)]
洛必达n+1次求导
　　= (a(n+1)!*n^0)/((n+1)!*(n+1)^0)
　　→ a (n→∞)

Answer 1

是发散的，这个问题可以用这个级数a^n*n!/n^n，n趋于无穷这个级数做参考可以得出a<e时级数收敛，a>e时级数发散，a=e正好处于临界点，但是e^n为单增的，后面增长速度会变快，所以级数发散。

收敛和发散是相对的，发散级数是不收敛的级数，也就是说该级数的部分和序列没有一个有穷限。

扩展资料：

发散的可和法：

在实际的数学研究以及物理、天文等其它学科的应用中，经常会自然地涉及各种发散级数，所以数学家们便试图给这类发散级数客观地指派一个实或复的值，定义为相应级数的和，并在这种意义之下研究所涉及的发散级数。

每一种定义都被称为一个可和法，也被理解为一类级数到实数或复数的一个映射，通常也是一个线性泛函，例如阿贝尔可和法、切萨罗可和法与波莱尔可和法等。

可和法通常保持收敛级数的收敛值，而对某些发散级数，这种可和法和能额外定义出相应级数的和。例如切萨罗可和法将格兰迪级数

可和到1/2。大部分可和法与相应幂级数的解析延拓相关，每个适当的可和法试图描述的是序列趋于无穷时的平均表现，这种意义下也可以理解为无穷序列的均值。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

上面方法是对的但答案错了，下面阶乘好像不能求导吧，判断收敛先用比值法得到极限为a/e，便可讨论a>e和a<e，最后a=e代入发现n!e^n/n^n发散，结果就是a<e收敛,a>=e发散

Answer 4

第一种方法是没有问题的。第二种方法不正确。这种n^n的函数属于超越函数，类似y=x^x，既不是幂函数，也不是指数函数。是不能用初等函数来求导的.只能先两边取对数，然后求导
lny=xlnx
y'/y=lnx+1
y'=(lnx+1)*x^x