Question

如图，已知 Rt△ABC中，∠A=30°，AC=6，边长为4的等边△DEF沿射线AC运动 （A、D、E、C四点共线），使边DF

1)设AD=X,△ABC与△DEF重叠部分的面积为y 求y与X的函数关系式,并写出X的取值范围。
2)是否存在一个以点M为圆心，MN长为半径的圆与边AC、EF同时相切，如果存在，请求出圆的半径；如果不存在，请说明理由。

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Answer 1

1、由已知条件Rt△ABC中∠A=30°，等边△DEF沿射线AC运动可知EF垂直于AB、△AMD为等腰三角形、则AD=MD 所以MF=DF-MD=4-x MN=√3/2MF NF=1/2MF
三角形MNF的面积为1/2×√3/2 ×（4-x ）×1/2×（4-x）=√3/8（4-x ）×（4-x）
三角形DEF的面积2√3 所以y=2√3-√3/8（4-x ）×（4-x）
X取值范围 0<x<2

2、存在以点M为圆心，MN长为半径的圆与边AC、EF同时相切。
过点M作MG垂直于AC交AC于点G，当MF=MD ∠MDG=∠F=60°，∠MNF=∠MGD=90°
所以显而易见三角形MGD全等于三角形MNF。所以有MN=MG ，MD=MF=2 所以 圆的半径MN=2×√3/2=√3 。也就是存在以点M为圆心，以MN=√3 为半径的圆与边AC和EF相切。

Answer 2

由图可知EF垂直于AB、△AMD为等腰三角形、则AD=MD 所以MF=DF-MD=4-x MN=√3/2MF NF=1/2MF
三角形MNF的面积为1/2×√3/2 ×（4-x ）×1/2×（4-x）=√3/8（4-x ）×（4-x）
三角形MNF的面积2√3 所以y=2√3-√3/8（4-x ）×（4-x）
X取值范围 0<x<2

若存在以点M为圆心，MN长为半径的圆与边AC、EF同时相切。
则过电M作MG垂直于AC交AC于点G
因为圆与边AC、EF同时相切
所以由MN=MG 且由MN、MG都为直角三角形60°所对应的直角边。
这样可以知道三角形MDG、MFN的斜边MF=MD 也就是点M为DE的中点
MD=MF=2 所以 圆的半径MN=2×√3/2=√3

Answer 3

X取值范围 0<x<2

追问

5有了？我要过程！！！！