Question

高等数学 极限计算

有界函数乘以无穷小的乘积是无穷小 例题中的红线部分 可以直接等于0从而删去吗？或者说答案里的第一步可以省略吗

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Answer 1

如果这是大题，尽量别省略，数学需要有严谨的推导

填空选择之类的无所谓，毕竟不看步骤

因为这里打复合函数不方便，所以我做了如下代换，方便下面叙述

先说明，答案这里的原理不是“有界函数乘以无穷小的乘积是无穷小”

答案的第一步实际上就是说B是A的高阶无穷小，即B=o(A)

x→0时A+o(A)=A，这个原理在一些考研辅导班会称为“高阶吸收”，当然你也可以认为这是等价无穷小的一种，即A+o(A)~A

另外，“高阶吸收”这个结论一般是高数很6的人用的，这个题还好，在一些更复杂的题目中如果高数水平不是非常好随便用这个容易翻车，题主想用的话可得好好吃透

至于具体做题扣不扣分的问题，毕竟我也不批卷子不知道评分标准，但我认为在大题中你不加说明直接得出3x^2不太好

还有这里不能直接用lim(a/b)=lima/limb这个运算法则，这个前提是分母≠0，这里显然都是无穷小=0，所以你要是用“有界函数乘以无穷小的乘积是无穷小”是错的，要大题这么写就是错的，所以我认为你直接写出3x^2容易让批卷人误以为你用错了法则

Answer 2

无穷大的倒数为无穷小，所以，可以通过倒数把无穷大的问题变成无穷小来处理。一般的，可以推出： (1)无穷大与常数的和为无穷大； (2)无穷大与非零常数的积为无穷大； (3)无穷大与无穷大的积为无穷大； (4)无穷大与无穷大的商不一定为无穷大。

追问

你这个不是答非所问吗..

Answer 3

不可以

追问

3(sinx)^2+x^3cos(1/x)~3x^2 等价代换还是相当于把那部分化成0了

追答

利用了无穷小和有界函数的积为无穷小

追问

对啊 所以那红线部分 不还是直接变成0就删去了吗 也不需要用极限来提取成0

追答

一开始不能变成0，因为是0/0型未定式，最后化成了A/(B+C)型极限后才可以的。

Answer 4

不行，你这边上下左右都是无穷小，就是比无穷小之间的大小，不能直接等于0

追问

解析答案是先证3sinx^2是比x^3cos(1/x)的低阶无穷小 从而分母等价于3sinx^2 在计算上还是把后者变为0了 我增加了解析答案的图片

追答

这样当然可以了 你证明是低阶无穷小就可以了 但是你问直接求那个式子在极限处等于0 然后把0带入方程 这怎么可能

其实这个可以看成泰勒级数的展开，我们一般后面会写个o（x）表示是后面的无穷小，所以这种方法也要小心在 加减法中的运用，有些时候不能用的，乘除法还好一点