Question

求y的二阶导-3*y的一阶导+2*y=x*e^2x的通解

Answer 1

求 y"-3y'+2y＝xe²ˣ 的通解
解：特征方程为
λ²-3λ+2=0，即 (λ-1)(λ-2)=0，
故特征根为 λ₁=1，λ₂=2，
所以原方程对应齐次方程的通解为
Y＝C₁eˣ+C₂e²ˣ，
因非齐次项为xe²ˣ，而λ=2是上面特征方程的单根，故可设原方程的一个特解为
y*＝x(ax+b)e²ˣ＝(ax²+bx)e²ˣ，
则
y*'＝[(ax²+bx)+(2ax+b)]e²ˣ
＝[ax²+(2a+b)x+b]e²ˣ，
y*"＝[ax²+(2a+b)x+b+2ax+(2a+b)]e²ˣ
＝[ax²+(4a+b)x+2a+2b]e²ˣ，
把它们代入原方程得
{[ax²+(4a+b)x+2a+2b]
-3[ax²+(2a+b)x+b]+2(ax²+bx)}e²ˣ
＝xe²ˣ，
即 -2ax+(2a-b)＝x，
比较系数得 -2a=1，2a-b=0，
解得 a=-1/2，b=-1，
故 y*＝-(x²/2+x)e²ˣ，
所以原方程的通解为
y＝Y+y*＝C₁eˣ+C₂e²ˣ-(x²/2+x)e²ˣ .