Question

有道数学题会的帮一下 谢谢

求证：当x表示整数时，(x＋1）（x＋2）（x+3)(x+4）＋1是一个整数的完全平方数.

Answer 1

(x＋1）（x＋2）（x+3)(x+4）＋1
=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
=（x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+1
=(x^2+5x+4)(x^2+5x+4)+2(x^2+5x+4)+1
=(x^2+5x+4)^2+2(x^2+5x+4)+1
=(x^2+5x+4+1)^2
=(x^2+5x+5)^2

所以是一个整数的完全平方数.

Answer 2

证明: (x＋1)(x＋2)(x+3)(x+4）＋1
=[(x＋1)(x+4)][(x＋2)(x+3)]+1
=[(x^2+5x)+4][(x^2+5x)+6]+1
=(x^2+5x)^2 + 10(x^2+5x)+25
=(x^2+5x+5)^2
又因为x是整数,所以 x^2+5x+5 的结果也是一个整数
所以(x＋1)(x＋2)(x+3)(x+4）＋1是一个整数的完全平方数.