Question

求下图数学题详细解法

第9题

Answer 1

证明不等式：当x>0时 ln(x+1)>(arctanx)/(1+x);
证明：∵x>0，∴1+x>1>0，故原不等式与不等式 (1+x)ln(1+x)>arctanx同解；
设f(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx；则f '(x)=ln(1+x)+1-[1/(1+x²)]=ln(1+x)+x²/(1+x²)>0;
故该函数在(0，+∞）单调增加；由于f(0)=0；故当x>0时有f(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx>0
即有ln(1+x)>(arctanx)/(1+x)；故证。

Answer 2

Answer 3

你好，很高兴地解答你的问题。
解析：∵设f（x）＝（1＋x）ln（1＋x）－arctanx，又∵x＞0，∴则：f'（x）＝ln（1＋x）＋1－1/（1＋x）²＝ln（1＋x）＋x²/（1＋x）²＞0，∴函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调增加。又∵f（0）＝0，且f（x）在x＝0连续，∴故对于x＞0，有：f（x）＞f（0）＝0，∴即：f（x）＞0，∴当x＞0时，∴（1＋x）ln（1＋x）－arc tanx＞0，∴即：ln（1＋x）＞（arc tan x）/（1＋x）（x＞0）。

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