Question

【有图】高数求积分

尤其是加号后面的积分怎么算的？给个思路也可以啦

Answer 1

1/1+t^2 求导变成arctant

所以等式=arctant|上面是X 下面是0 +arctant|上面是1/x 下面是0
=arctanx+arctan1/x

解释一下上面的等式。把X带入arctant中。然后把0带入arctant中。用arctanx-arctan0
tan0=0 所以 arctan0=0

Answer 2

看图

追问

可是标准答案是π/2，你给的图上是不是漏了1/x的求导了。

追答

是π/2，我打错了

追问

我想问下，arctanx+arctan1/x为什么等于π/2?谢啦

追答

arctanx+arctan1/x=arctanx+arccotx=π/2

Answer 3

变限积分求导
因为F'(x)=1/(1+x²)+[1/(1+1/x²)](-1/x²)=1/(1+x²)-1/(1+x²)=0
因此F(x)=C
又F(1)=2∫(0,1)1/(1+t²)dt=2arctant|(0,1)=π/2
所以F(x)=π/2

追问

能讲一下这个思路怎么出来的吗？我做这个题目应该是一辈子都不会有想到把F'(x)先求导一下的。。。
另外F(1)你是怎么想到的，还有其他的数字能带入吗？
另外如果单求第二个积分的话，能积吗？

追答

其实一楼的思路方法也是对的。
第二个积分是可积分的，它的积分结果为∫(0,1/x)1/(1+t²)dt=arctant|(0,1/x)=arctan(1/x)
若先积分后求导你也会容易理解的
积分容易得到
F(x)=arctanx+arctan(1/x)
求导仍有
F'(x)=1/(1+x²)+)+[1/(1+1/x²)](-1/x²)=1/(1+x²)-1/(1+x²)=0
这就说明F(x)为常函数。
这里也可以不取x=1来求F(x)的值
如取x趋于0有
F(x)=lim(x->0)F(x)=lim(x->0)arctanx+lim(x->0)arctan(1/x）=0+π/2=π/2.【F(x)在x=0处连续】
或取x=√3，仍有F(x)=arctan√3+arctan(1/√3)=π/3+π/6=π/2
我选x=1只是为了方便计算，
其实令arctanx=α，arctan(1/x)=β，α,β∈(0,π/2)
则x=tanα,1/x=tanβ=1/tanα=cotα=tan(π/2-α)
那么arctanx+arctan(1/x)=α+β=π/2,现在明白了吧？