Question

考研数学一题，跪求高手解答

条件1、f(x+y)=f(x)f(y)
条件2、f(x)=1+xg(x) 且 lim g(x)=1
x→0
证：f'(x)=f(x)

多谢多谢！

Answer 1

[f(x+y) - f(x)]/y
= [f(x)f(y) - f(x)]/y
= f(x)[f(y) - 1]/y
= f(x)[1 + yg(y) - 1]/y
= f(x)g(y)

因lim g(x)=1 (x趋于0)
所以
对于任意实数x,
lim f(x)g(y) (y趋于0)存在，且
lim f(x)g(y) (y趋于0) = f(x)
所以，对于任意实数x,
lim{[f(x+y) - f(x)]/y }(y趋于0)存在，且
lim{[f(x+y) - f(x)]/y }(y趋于0) = lim f(x)g(y) (y趋于0) = f(x)
因此，
f(x)可导，且
f'(x) = f(x)

Answer 2

由导数定义，对任意x：
f’(x) = lim [f(x+⊿x)-f(x)]/ ⊿x (⊿x趋于0)
= lim [f(x)f(⊿x) - f(x)]/⊿x
= lim f(x)[f(⊿x) - 1]/⊿x
= lim f(x)[1 + ⊿x*g(⊿x) - 1]/⊿x
= lim f(x)g(⊿x) (∵ lim g(x)=1)
= f(x) 得证