Question

已知函数f(x)=ln(x+a)-x^2-x，则若x∈[0,1],函数f(x)在x=0处取得最小值，求正数a的取值范围

求详解！
回答好了我会再追加20-30分，谢谢

Answer 1

解：∵f′(x)=1/(x+a)-2x-1=[-2x²－(2a+1)x+1-a]／(x+a),x+a＞0
∴只需判断g(x)=-2x²－(2a+1)x+1-a的符号，来确定f′(x)的正负
g(x)=-2x²－(2a+1)x+1-a=0的根为x=[-(2a+1)±√（4a²-4a+9）]／4
必有一个负根，所以在x∈[0,1]上的增减性只可能为：增，减，先增后减
∵f(x)在x=0处取得最小值，有两种情况
（1）在x∈[0,1]恒增（2）在x∈[0,1]上先增后减，并且f(0)≤f(1)
先说第一种情况：f′(0)=（1-a）／a≥0,f′(1)=(-3a-2)／(1+a)≥0
解得a≤-2/3与a是正数不符，此种情况不存在
在看第二种情况：在x∈[0,1],上必存在一点使得f′(x)=0
令f′(x)=0，解得x=[-(2a+1)±√（4a²-4a+9）]／4
[-(2a+1)-√（4a²-4a+9）]／4显然不符合题意，舍去
∴x＝[-(2a+1)+√（4a²-4a+9）]／4
∴0＜[-(2a+1)+√（4a²-4a+9）]／4＜1,解得a＜1
f(0)=lna,f(1)=ln(1+a)-2
lna≤ln(1+a)-2
解得a≤1/(e²-1)
∴a＞0
∴0＜a≤1/(e²-1)

Answer 2

f(x)=ln(x+a)-x^2-x
f(0)=lna
由于在x=0取得最小值，则对任意x属于【0，1】，有f（x）大于等于lna
即：ln（x+a）-x^2-x-lna大于等于0
设出g（x）=ln（x+a）-x^2-x-lna，且g（0）=0对g（x）求导
得：g‘（x）=1/（a+x）-2x-1，g’（0）=1/a-1，由这步可知a小于1，否则，g（x）在0点递减，
有g（x）小于0，不合题意
对g（x）求二次导知g‘’（x）=-1/（x+a）^2-2在[0,1]上恒负知g'(x)在【0，1】单调递减
由以上得，g（x）在x=1点时导数最小（可能为正，可能为负），也就是说，有可能g（x）在x=1时小于0，所以只要保证g（1）大于等于0即可
g（1）=1+a/a-e^2大于等于0，解得0<a小于等于1/e^2-1

Answer 3

具体过程如下：

追问

导数球错了吧，第一步的a呢？

追答

导数错了，不过思路应该是对的，你可以试着自己做一下

Answer 4

先求函数的导数得到：f'(x)=1/(x+a)-2x-1,x∈[0,1]
进行通分可看出 因为 函数在x=0处取得最小值 所以在x=1处的取值 有如下情况
ln(1+a)-2>=lna
所以有 ln(1+a/a)>=2
1/a+1>=e^2
a<=1/（e^2-1）
又因为 x∈[0,1]，x+a>0 可得 a>-1,
所以综上所述 -1<a<=1/（e^2-1）