Question

解微分方程y"+2y’-3y=e^2x？

Answer 1

令y=Q(x)·[e^(2x)]，代入原方程得到：
Q`(x)·[e^(2x)]+2Q(x)·[e^(2x)]-3Q(x)·[e^(2x)]=e^(2x)
整理得到：Q`-Q=1
分离变量解得：x+C=ln(Q+1)………………C为任意常数
两边同时做为自然对数底e的指数，消去对数函数，得到：
Q=Ke^x-1………………K=e^C，为任意正常数
所以y=[K(e^x)-1]·[e^(2x)]，代入y(x=0)=0，即：
0=K-1
所以K=1，得到特解：
y=[(e^x)-1]·[e^(2x)]

Answer 2

1. 求齐次方程通解

   r^2+2r-3=0

   (r+3)(r-1)=0,r1=-3,r2=1

   y=C1e^-3x+C2e^x

2. 求非齐次方程特解（微分算子）

   y*=1/(D^2+2D-3)*e^2x=1/(D+3)(D-1)*e^2x=1/5e^2x

3. 通解加上特解

   y=C1e^-3x+C2e^x+1/5e^2x