Question

已知:如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,且CD²=AD×BD。求证:△ABC是直角三角形

Answer 1

因为CD²=AD×BD
所以CD/AD=BD/CD
所以RT△CDA∽RT△BDC
所以∠ACD=∠CBD
又因为∠CBD+∠DCB=90°
所以∠ACD+∠DCB=∠ACB=90°
得证。

追问

要利用勾股定理的逆定理

追答

AC^2=AD^2+CD^2
BC^2=BD^2+CD^2
AC^2+BC^2=AD^2+CD^2+BD^2+CD^2=AD^2+BD^2+2CD^2
=AD^2+BD^2+2AD×BD=(AD+BD)^2=AB^2
得证。

Answer 2

利用相似性质：
CD²=AD×BD
CD/AD=BD/CD 角CDA=角BDC=90度
RT△CDA=RT△BDC
角A=角BCA，角ACD=角B
角A+角ACD=90度=角A+角B
角BCA=90度为直角