Question

高等数学问题求解

Answer 1

，，，

Answer 2

将方程化为参数方程x=acos³t.y=asin³t.

Answer 3

方程x23+y23=a23两边求微分,得23x−13dx+23y−13dy=0，

∴dydx=−x−13y−13，

由对称性，只需要考虑曲线在第一象限的切线，

设切点为(x0,y0),则切线斜率为k=−x−130y−130，

切线方程为y−y0=−x−130y−130(x−x0)，

又y−130y−y230=−x−130x+x230,即y−130y+x−130x=x230+y230=a23，

∴切线与x轴的交点为(a23x130,0),切线与y轴的交点为(0,a23y130)，

∴切线与两条坐标轴围成的三角形的面积

S=12a23x130a23y130=12a43x130y130，

而a23=x230+y230⩾2x130y130，

等号成立当且仅当x0=y0，

∴S=12a43x130y130⩽12a43⋅12a23=14a2，

即Smax=14a2.