Question

大学高数，用柱坐标系计算三重积分，请问一下图中的z的上下限是怎么看的？

一般老是只会得出前两个的范围，第三个老是会搞错下限，下限可以代那个方程计算出来，但是我图中最小又是0，所以会搞错写成下限为0，这种情况应该是要怎么计算的？

Answer 1

对于三重积分来说，直角坐标系、柱面坐标系、球面坐标系这三种解法，本质上而言是对空间某点用不同的坐标系表示而已，所以你只要明白了这几种坐标系的来源或者表示方法，自然而然就清楚了这个Z值的上下限。 对于柱面坐标系，它是在平面极坐标系的基础上再增加了一个Z值方向的维度（通俗地讲就是过立体的投影区域做一个平行与Z轴的直线，这样就为Z值的取值范围）

Answer 2

对。
z的区间是[p²/2,4],这里已经包涵0了，即当x²+y²=0时，p²=0;
又因为在区间[0，4],z的值随x,y的变化而变化，所以不能简单写成[0，4]，而是写成用x,y表达的形式。