Question

已知函数fx=(1-x)/(1+x∧2)e∧x,求fx的单调区间,证明,当fx1=fx2(x1不

Answer 1

证明：
∵f(x1)≠f(x2).
不妨设f(x1)＜f(x2).
另设f(x1)=a1,f(x2)=a2,a=(a1+a2)/2.
易知，a1＜a＜a2.
构造函数g(x)=f(x)-a.(x1＜x＜x2)
g(x1)=f(x1)-a=a1-a＜0.
g(x2)=f(x2)-a=a2-a＞0.
∴由“零点存在定理”可知，
必存在实数m∈(x1,x2),
满足g(m)=f(m)-a=0.
即满足f(m)=[f(x1)+f(x2)]/2.
∴方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]/2在（x1,x2)内必有一实数根。

Answer 2

f(x)=(1-x)/(1+x∧2)e∧x=(-x^3+x^2-x+1)e^x
所以f’(x)=（-x^3-2x^2+x)e^x=x(-x^2-2x+1)e^x
令f’(x)=0的x=-1-√2或者x=-1+√2或者x=0
因为
当x＜-1-√2时，f’(x)＞0；当-1-√2＜x＜-1+√2时，f’(x)＜0；当-1+√2

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