Question

已知在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=9cm,点P从点B出发，延射线BC方向一每秒2cm的速度移动，同时，点Q从点D出发，

已知在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=9cm,点P从点B出发，延射线BC方向一每秒2cm的速度移动，同时，点Q从点D出发，延线段DA一每秒1cm的速度向点A方向移动（当点Q达到点A时，点P与点Q同时停止移动），PQ交BD于点E。假设点P移动的时间为x（秒），△BPE的面积为y（cm²）。
（1）求证：在点P、Q的移动过程中，线段BE的长度保持不变
（2）求关于x的函数解析式，并写出x的取值范围
（3）如果CE=CP,求x的值

要有详细过程，好的加分

Answer 1

解答：
（1）第一问有两种解法，一种是用相似三角形，一种用直线方程，
用相似三角形简单点：
首先PQ与BD交与点E，QD与PB平行，所以三角形BEP和三角形DEQ是相似三角形，
因为点P从点B出发，延射线BC方向一每秒2cm的速度移动，同时，点Q从点D出发，延线段DA一每秒1cm的速度向点A方向移动，所以无论P走了多长时间始终PB：QD=2x：1x=2：1，因为三角形BEP和三角形DEQ是相似三角形，所以BE：DE=2：1，所以E点是固定的，BE的长度始终不变（证明完毕）
再简单说下用解析式的做法：
首先假设B点为原点，AB为y' 轴，BC为x' 轴，
那么BD的直线方程是y‘=2/3x’
又Q的坐标是（9-x，6），P点的坐标是（2x，0） （知道两点坐标求直线方程你应该会做，就不再详细说了，直接写结果）
PQ的直线方程是 y‘= -（2/(x-3)）x'+ 4x/(x-3)
联合BD，PQ的方程解 x’ y‘ 的值 （就是解二元一次方程组，注意x不是未知数，x'，y'才是未知数） 最后结果是x'=6 y'=4 ，因为E是BD，PQ的交点，所以E的坐标是（6，4），这说明不论x（p移动的时间）取值是什么，E始终不变始终是（6，4）这个点，所以BE的长度是不变的
（证明完毕）
上面两种解法自己选一个就行
（2） △BPE的底边长为PB，底边长为2x，高是E点到PB的垂线距离，因为E的坐标是（6，4），所以高为4
y=1/2 2x 4（乘号没打上）
化简 y=4x
根据题目，当点Q达到点A时，点P与点Q同时停止移动，Q到A用时是 9/1=9， 所以x取值是
[0，9] 这个地方觉得你的题目不对，Q到A点时，P已经超出C点了，不在矩形ABCD里了
（3）C坐标（9，0）E坐标（6，4） 所以CE的长度根据距离公式是
根号下的 （9-6）^2+（0-4）^2 符号没法打，就是9-6的平方加上0-4的平方的和，再开平方根，结果是 5，CE=5=CP BP=9-CP=4=2x 所以 x=2

加上做题的时间和打字的时间用了将近一个小时，数学题打起来太麻烦了