Question

求解一道施密特正交化法的线代题

Answer 1

线性无关向量组未必是正交向量组，但正交向量组又是重要的，因此现在就有一个问题：能否从一个线性无关向量组 出发，构造出一个标准正交向量组 ，并且使向量组 与向量组 等价 呢?回答是肯定的，通过施密特正交化方法就可以实现。下面就来介绍这个方法，由于把一个正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，所以，上述问题的关键是如何由一个线性无关向量组来构造出一个正交向量组，我们以3个向量组成的线性无关组为例来说明这个方法。设向量组 线性无关，我们先来构造正交向量组 ，并且使 与向量组 等价 。按所要求的条件， 是 的线性组合， 是 的线性组合，为方便起见，不妨设

其中，数值 的选取应满足 与 垂直，即

注意到 ，于是得 ，从而得

对于上面已经构造的向量 与 ，再来构造向量 ，为满足要求，可令

其中， 的选取应满足 分别于向量 与 垂直，即

由此解得

于是得

容易验证，向量组 是与 等价的正交向量，若再将 单位化，即令

则 就是满足要求的标准正交向量组。