Question

求教一道微积分题目，谢谢

continuous是连续的意思，differentiable是可导的意思

Answer 1

当a＞0时，lim(x→0) f(x)＝lim(x→0) x^a×sin(1/x)＝0＝f(0)。 x≠a时，f'(x)＝a×x^(a-1)×sin(1/x)－x^(a-2)×cos(1/x)。
x＝a时，f'(a)＝lim(x→0) [f(x)－f(a)]/(x－a)＝lim(x→0) x^(a-1)×sin(1/x)，只有a－1＞0时，继续存在，且为0。 所以a＞1时，f'(a)＝0。

如果f(x)在x＝0处的导数连续，即lim(x→0) f'(x)＝f'(0)，所以，lim(x→0) x^(a-2)×cos(1/x)＝0，需要a－2＞0，即a＞2。 所以，a＞2时，f(x)在点x=0 处的导数连续。