Question

求证四边形为菱形。

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB,∠ABC的平分线交CE于P，交AC于D，DF⊥AB，连接PF，求证：四边形FPCD是菱形

Answer 1

∵∠ABD=∠DBC
且DB=BD,∠DFB=∠DCB=90º
∴Rt△DFB ≌ Rt△DCB
∴DC=DF
同理可得△CPB ≌ △FPB
∴CP=PF,∠CAB=∠PFB
∵∠DFE=∠CEB=90º
∴DF‖CE
∵∠ECB=∠CAB=∠PFB
∴AC‖FP
∴DCEF为平行四边形
又DC=DF
∴DCEF为菱形

Answer 2

DB平分角ABC，得<ABD=<CBD
DF⊥AB <DFB=90° ，∠ACB=90°
根据角角边，△DFB=△DCB 推出DF=DC FB=CB
根据边角边得， △FBP=△CBP 推出FP=CP
四边形FPCD四角均不为直角，菱形
具体步骤自己写写吧，好多年不学这个早忘了都咋写的了。。。。

Answer 3

∵∠ABD=∠DBC，DB=BD，∠DFB=∠DCB=90º
∴Rt△DFB全等于Rt△DCB
∴DC=DF
同理可得△CPB全等于 △FPB
∴CP=PF,∠CAB=∠PFB
∵∠DFE=∠CEB=90º
∴DF‖CE
∵∠ECB=∠CAB=∠PFB
∴AC‖FP
∴DCEF为平行四边形
∴DCEF为菱形

Answer 4

角平分线加两个垂直 所以CD=DF
CE⊥AB DF⊥AB 所以CP平行DF 平行加邻边相等 所以就是菱形