Question

初中数学几何题。 求详解、求速度~ 加分ing。

在等腰三角形ABC中,已知AB=AC=3,cos∠B=三分之一,D为AB上一点,过点D作DE垂直于AB交BC边于点E，过点E做EF垂直于BC交AC边与点F。
（1）当BD长为何值时，以点F为圆心，线段FA为半径的圆与BC边相切？
（2）过点F做FG垂直于AC，与线段DE交于点G，设BD的长为X，三角形EFG的面积为Y，求Y关于x的函数解析式及其定义域

Answer 1

（1）如图（1）

∵以点F为圆心，线段FA为半径的圆与BC边相切

∴AF=EF

∵FC²=EC²+EF²  

∴FC²=EC²+AF²   (1)

∵AC=3 

∴AF=AC-FC=3-FC   (2)

∵∠B=∠C(等腰三角形，底角相等) 

∴cos∠C=cos∠B=1/3

∵∠FEC=90°

∴EC=FC/3         (3)

将(2)、(3)均代入(1)中可得：

FC²=(FC/3)²+(3-FC)²

FC²=FC²(1/9)+ (3-FC)²

(8/9)FC²=(3-FC)²

两边同时除以FC²(FC≠0)

8/9=(3/FC-1)²        (4)

∵FC<3

∴3/FC>1

∴3/FC-1>0

将(4)两边同时开方可得

∴3/FC-1=(2/3)√2

∴3/FC=(2√2+3)/3

∴FC=9/(3+2√2)=9(3-2√2)

∴EC=FC/3=3(3-2√2)

∵AB=AC=3 cos∠B=1/3

∴BC/2=AB×cos∠B=3*(1/3)=1

∴BC=2

∴BE=2-EC=2-3(3-2√2)=2-9+6√2)= 6√2-7

∵cos∠B=1/3

∴BD=BEcos∠B

=(1/3)[ 6√2-7]

=2√2-7/3

所以当BD=2√2-7/3时，以点F为圆心，线段FA为半径的圆与BC边相切

（2）如图（2）

∵x=BD

∴BE=x/cos∠B= x/(1/3)=3x

FC=EC/cos∠C= EC/cos∠B=3EC

EF&sup2;=FC&sup2;-EC&sup2;

=(3EC)&sup2;-EC&sup2;

=8EC&sup2;

=8(2-BE)&sup2;

=8(2-3x)&sup2;     (2>3x)

∵∠GEC=∠B+∠BDE

∴∠GEF+90°=∠B+90°

∴∠GEF=∠B

同理可以得∠GFE=∠C

∵∠B=∠C

∴∠GEF=∠GFE

△EFG为等腰三角形

∵cos∠B=1/3

∴sin∠B=√[(3&sup2;-1&sup2;)/3&sup2;]=(1/3)√[(3&sup2;-1&sup2;)=(1/3)√8

∴tan∠B=√8=2√2

△EFG的底为EF，

设高为h，

则h=(EF/2)*tan∠GEF=(EF/2)*2√2=EF√2

△EFG的面积为Y

Y=EF*h/2=EF&sup2;√2/2

 =8(2-3x)&sup2;√2/2=4√2 (3x-2)&sup2;

三角形的面积解析式为

Y=4√2 (3x-2)&sup2;

定义域：

2>3x

∴x＜2/3   

同时如图(2)-1，x应不小于一个值，只有不小于这个值才能使过F垂直于AC的垂线与线段DE相交于G点，否则不能与DE相交，不能形成三角形△ EFG,由图形可以知，这个值就是当G点与D点重合之时x的取值，此时DG⊥AC于F。

DE=DF=xtan∠B=2√2x

BE=3x

EC=2-3x

EF=2√2(2-3x)

DE=(3/2)EF

2√2x=(3/2)EF=(3/2)2√2(2-3x)= 3√2(2-3x)=6√2-9√2x

11√2x=6√2

x=6/11

所以x≥6/11

因此定义域为6/11≤x＜2/3

Answer 2

如图，过点A 做AM⊥BC于点M，

设ME长为x，

根据三角形相似，可得

BD/CE=BE/CF，

CE/CM=CF/CA=EF/AM，

代入数据，可得EF=2√2   -     2√2x    ，CF=    3-3x，

线段FA为半径的圆与BC边相切即EF=AF，

依题意，得

2√2   -     2√2 x      +   3 -3x=3，

解得 x=2√2   /    (3+2√2)，

∵BD/CE=BE/CF，

∴有BD   /   （1-x）  =    （1+x） /     3（1-x），

∴BD=（1+x）/ 3，

把x= x=2√2   /    (3+2√2)代入，

得BD=（3+4√2）   /   (9+6√2）

当BD=（3+4√2）   /   (9+6√2）时，以点F为圆心，线段FA为半径的圆与BC边相切.

｛我真的不想写具体过程了，但我也不能肯定我的答案就一定是对的，如果你觉得还行的话，就给分吧~~~第二小题，明天下午会联系你的……）

PS：｛有看不懂的问我。。。）

Answer 3

（1）BD=2根号2减去7/3
(2)y=4根号2(3x-2)平方，(6/11<x<2/3)
具体过程可以给你发，qq497885978

Answer 4

1.依题意：∠B=∠C，BE=3BD,CF=3CE,BC=2*AB*cos∠B=2

以点F为圆心，线段FA为半径的圆与BC边相切即：AF=EF

AF=3-CF=3-3CE    ①

EF=√(CF^2-CE^2)=√(9CE^2-CE^2)=√8CE    ②

①②互代：CE=3/(3+√8)

BD=1/3BE=1/3（BC-CE）=1/3[2-3/(3+√8)]=（3+4√2） /   (9+6√2）

即：当BD=（3+4√2）   /   (9+6√2）时，以点F为圆心，线段FA为半径的圆与BC边相切.

2.如图，三角形EFG的面积

Y=1/2（EF*GH）

Y=1/2（EF*√2EF)    ……（直角△GHE中,GH=√8EH）

Y=√2/2EF^2 

Y=4√2EC^2        ……（直角△FEC中,EF=√8EC）

Y=4√2(2-BE)^2       ……（BC=2）

Y=4√2(2-3X)^2          ……（BE=3BD）

Y=36√2X^2-48√2X+16√2

上式即为所求解析式

求定义域，显然，当G点与D点重合时，是x最小值，即：

EF=2/3DE=2/3√8x

EC=BC-BE=2-3x

EF=√8EC

2/3√8x=√8(2-3X)

2/3x=2-3x

x=6/11

当E点与C点重合时，是X最大值，即

x<2/3

所以所求函数的定义域为：6/11<x<2/3

Answer 5

1.依题意：∠B=∠C，BE=3BD,CF=3CE,BC=2*AB*cos∠B=2
以点F为圆心，线段FA为半径的圆与BC边相切即：AF=EF
AF=3-CF=3-3CE。。。。。。 ①
EF=√(CF^2-CE^2)=√(9CE^2-CE^2)=√8CE。。。。。。 ②
①②互代：CE=3/(3+√8)
BD=1/3BE=1/3（BC-CE）=1/3[2-3/(3+√8)]=（3+4√2） / (9+6√2）
即：当BD=（3+4√2） / (9+6√2）时，以点F为圆心，线段FA为半径的圆与BC边相切.
2.如图，三角形EFG的面积
Y=1/2（EF*GH）
Y=1/2（EF*√2EF) ……（直角△GHE中,GH=√8EH）
Y=√2/2EF^2
Y=4√2EC^2 ……（直角△FEC中,EF=√8EC）
Y=4√2(2-BE)^2 ……（BC=2）
Y=4√2(2-3X)^2 ……（BE=3BD）
Y=36√2X^2-48√2X+16√2
求定义域，显然，当G点与D点重合时，是x最小值，即：
EF=2/3DE=2/3√8x
EC=BC-BE=2-3x
EF=√8EC
2/3√8x=√8(2-3X)
2/3x=2-3x
x=6/11
当E点与C点重合时，是X最大值，即x<2/3
那么所求函数的定义域为：6/11<x<2/3