Question

在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,，2B=A+C,b^2=ac,证明三角形ABC为等边三角形

Answer 1

2B=A+C两边同时平方得到
A^2+C^2+2AC=4B^2
将B^2=AC代入
得到A^2+C^2+2AC=4AC
所以（A-C）^2=0即A=C
又B^2=AC A=C
所以B^2=A^2
即B=A 也就是B=A=C
所以三角形ABC为等边三角形

Answer 2

2B=A+C
又180=角B+角A+角C=3X角B
角B=60°
做AD垂直BC交BC于D
AD=Sin60°c=根号3/2倍c
DC=a-c/2
b^2=DC^2+AD^2=(a-c/2)^2+(根号3/2倍c)^2=a^2+c^2-ac(因为b^2=ac)
所以ac=a^2+c^2-ac
即(a-c)^2=0即a=c
b^2=ac=a^2=c^2
三角形ABC为等边三角形

Answer 3

因b^2=ac
有(sinB)^2=sinA*sinC=[cos(A-C)-cos(A+C)]/2=cos(A-C)/2-1/2+(sinB)^2
得cos(A-C)=1
即A=C
所以A=B=C