Question

二阶混合偏导数的几何意义？

Answer 1

一楼所言。是一阶偏导数的几何意义。
“二阶混合偏导数”，没有能够“直接看出”的“几何意义”。
当然 ，一定要，也不是不能做出来。
F〃xy（x0,y0）＝（F′x（x0,y）'y（y0）
也就是，先作一个一元函数Φ（y）＝F′x（x0,y）,图像z＝Φ（y）在（y0,Φ（y0））处的切线的斜率，就是F〃xy（x0,y0）的“几何意义”。
只能这样，它麻烦，它看不清。所以，不如干脆说，二阶混合偏导数 没有 明显的几何意义。

追问

你说作一个一元函数Φ（y）＝F′x（x0,y），此时X0是常量，Φ（y）怎么会有关于X的导数呢？,

追答

这里的自变量是y,当然是对y求导数了。

追问

Φ（y）＝F′x（x0,y），不是对x求导数吗？难道是对y求导，如果是对y那应该是Φ（y）＝F′y（x0,y）。

追答

Φ（y）＝F′x（x0,y），是F﹙x,y﹚对x求导，在﹙x0,y﹚的值，x0是固定的，y没有固定，因此，
它﹙Φ（y）﹚就是y的函数了，我说的是第二步，是Φ（y）的导数,只有一个变量y,当然对y求导，这个导数在y0的值，即为：
Φ‘（y0）＝F″xy﹙x0,y0﹚,

追问

照你这样说，只是把定义解释一遍罢了，可这不是可理解的几何意义，不过还是很谢谢你！那么请问你能举例说明一下F〃xy（x0,y0）的实用价值、应用价值吗？非常感谢！

追答

我已经说了，不如干脆说，二阶混合偏导数 没有 明显的几何意义吗？
至于应用，判断曲面极值的时候不是用到它吗？另外，泰勒展开不也需要它吗？

Answer 2

用我自己的话说了，书上的好晦涩难懂。
二元函数确定一个平面，在空间坐标中，求x的偏导就取平面上的任意一点，过这一点平行于zox面一刀切下来，就会和原函数的曲面有交线，那么fx就是这曲线在改点出的切线对x轴的斜率，一样的啊，对y求偏导，就是沿zoy面方向切下来，fy就是对y的斜率。
联系一元函数的导数就是斜率，这也是斜率，只是在空间里面有对x还是对y两种导数，要看方向偏向哪里，偏向x时就让y固定，反之一样。
要注重联系以前的模式，这样学起来会更轻松，不然看书会很烦。
我们学到方向导数了，注重理解，死记硬背没有用。