Question

初二数学 如图,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF

若BE=12,CF=5,求三角形DEF面积

Answer 1

连接AD，由于△ABC是等腰直角三角形，于是有：
AD⊥BC，AD=BD=CD，∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，∠ADC=∠ADF+∠FDC=90°

又DE⊥DF，即∠EDF=∠EDA+∠ADF=90°，所以：∠EDA=∠FDC

那么△AED与△CFD满足∠EDA=∠FDC、∠EAD=∠BAD=∠C=∠FCD、AD=CD
所以：△AED≌△CFD，有
AE=CF=5，AB=AE+BE=5+12=17=AC，AF=AC-CF=17-5=12，DE=DF

根据勾股定理可知：EF²=AE²+AF²=5²+12²=13²，EF=13
△DEF构成一个等腰直角三角形，底边是EF=13，面积是：
S=EF×(EF/2)/2=13²/4=169/4=42.25

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也可以不用勾股定理算EF，而是算其他几个三角形的面积再相减
作DM⊥AB，那么DM//AC，△BMD∽△BAC，DM:AC=BD:BC=1:2，DM=AC/2=17/2
作DN⊥AC，那么DN//AB，△CND∽△CAB，DN:AB=CD:BC=1:2，DN=AB/2=17/2

于是有：
△ABC的面积 S0=AB×AC/2=17×17/2=289/2
△AEF的面积 S1=AE×AF/2=5×12/2=30
△BED的面积 S2=BE×DM/2=12×(17/2)/2=51
△CFD的面积 S3=CF×DN/2=5×(17/2)/2=85/4

所以△DEF的面积是：
S=S0-S1-S2-S3=289/2-30-51-85/4=169/4=42.25

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对初二学生而言，本题只能用初二的平面几何方法来做；如果学了余弦定理，也可以用余弦定理进行计算。
平面几何解法也不止一种，只要灵活运用平面几何的定理、性质、全等图形、相似图形等，可以找到多种解题的巧妙方法。

Answer 2

连接AD，由于△ABC是等腰直角三角形，于是有：
AD⊥BC，AD=BD=CD，∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，∠ADC=∠ADF+∠FDC=90°

又DE⊥DF，即∠EDF=∠EDA+∠ADF=90°，所以：∠EDA=∠FDC

那么△AED与△CFD满足∠EDA=∠FDC、∠EAD=∠BAD=∠C=∠FCD、AD=CD
所以：△AED≌△CFD，有
AE=CF=5，AB=AE+BE=5+12=17=AC，AF=AC-CF=17-5=12，DE=DF

根据勾股定理可知：EF²=AE²+AF²=5²+12²=13²，EF=13
△DEF构成一个等腰直角三角形，底边是EF=13，面积是：
S=EF×(EF/2)/2=13²/4=169/4=42.25

Answer 3

连接AD，由于△ABC是等腰直角三角形，于是有：
AD⊥BC，AD=BD=CD，∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，∠ADC=∠ADF+∠FDC=90°

又DE⊥DF，即∠EDF=∠EDA+∠ADF=90°，所以：∠EDA=∠FDC

那么△AED与△CFD满足∠EDA=∠FDC、∠EAD=∠BAD=∠C=∠FCD、AD=CD
所以：△AED≌△CFD，有
AE=CF=5，AB=AE+BE=5+12=17=AC，AF=AC-CF=17-5=12，DE=DF

根据勾股定理可知：EF²=AE²+AF²=5²+12²=13²，EF=13
△DEF构成一个等腰直角三角形，底边是EF=13，面积是：
S=EF×(EF/2)/2=13²/4=169/4=42.25

Answer 4

延长FD至G，使DG＝DF，连结BG、AD、EG，则：
∴△CDF≌△BDG
∴∠DBG＝∠C＝45°，BG＝CF＝5
∴EG＝√(BG^2＋BE^2)＝13
∵DE⊥DF，DE＝DF
∴EG＝EF
∵∠ADE＋∠工DF＝90°＝∠ADF＋∠CDF
∴∠ADE＝∠CDF
∵AD＝CD，∠DAE＝∠C＝45°
∴△ADE≌△CDF
∴DE＝DF
∴∠DFE＝45°
∴EG＝EF
∴∠DGE＝45°
∴△EFG是等腰直角三角形
∴S△DEF＝1/2S△EFG＝1/2×1/2EG·EF＝169/4