Question

一道关于几何分布的概率论题

共有12张卡片：A，B，C，1，2……9。做放回抽取（12选1）。问：设A，B，C都被至少抽到过一次为止的抽取次数是X，求X的期望。

Answer 1

此题分析如下：

先做此题的一个简化版：

设Y1为从12张卡片中放回抽取，直到抽出A，B，C其中任何一个为止的次数。

那么显然 Y1满足几何分布 ：

其中p1为抽中目标牌ABC的成功率，即3/12=1/4

则右几何分布的期望公式可得

那么此题的X和Y1是什么关系呢？

想下载抽出A，B，C中任何一个后，无论是A，B，C中的哪一个，因为对称性，对X的大小是没有影响的。不妨设先抽出的是C。

那么第二阶段，设Y2为从12张卡片中放回抽取，直到抽出A，B中任何一个为止的次数。

同理：

不妨设第二阶段抽中的是B。

第三阶段，设Y3为从12张卡片中放回抽取，直到抽出A的次数。

同理：

X可以分为上述三个阶段分别抽取的次数，即：