完全平方数是什么？
完全平方指用一个整数乘以自己例如1*1，2*2，3*3等，依此类推。若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。
完全平方数是非负数，而一个完全平方数的项有两个。注意不要与完全平方式所混淆。
如果一个正整数 a 是某一个整数 b 的平方，那么这个正整数 a 叫做完全平方数。零也可称为完全平方数。
扩展资料
完全平方数的性质如下：
1、平方数的个位数字只能是 0， 1，4，5，6，9 。
2、任何偶数的平方一定能被 4 整除；任何奇数的平方被 4(或 8)除余 1，即被4 除余 2 或 3 的数一定不是完全平方数。
3、完全平方数的个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数。完全平方数的个位数字是 6 时，其十位数字必为奇数。
4、凡个位数字是 5 但末两位数字不是 25 的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个 0 的自然数不是完全平方数；个位数字是 1，4，9 而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
5、除 1 外，一个完全平方数分解质因数后，各个质因数的指数都是偶数，如果一个数质分解后， 各个指数都为偶数， 那么它肯定是个平方数。 完全平方数的所有因数的总个数是奇数个。因数个数为奇数的自然数一定是完全平方数。
6、如果 a 、b 是平方数， a=bc ，那么 c 也是完全平方数。
7、两个连续自然数的乘积一定不是平方数，两个连续自然数的平方数之间不再有平方数。
8、如果十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之也成立。
参考资料来源：百度百科-完全平方数
完全平方指用一个整数乘以自己例如1*1，2*2，3*3等，依此类推。若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。完全平方数是非负数，而一个完全平方数的项有两个。重要结论如下：
（1）个位数是2、3、7、8的整数一定不是完全平方数；
（2）个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；
（3）个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；
（4）形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；
（5）形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数。
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性质：
（1）奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。（奇数：n比那个所乘的数-1；偶数：n比那个所乘的数-2）
（2）形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
（3）不是5的因数或倍数的数的平方为5k+-1型，是5的因数或倍数的数为5k型。
（4）形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。
（5）性质11：如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。
（6）在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数。
（7）一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数（包括1和n本身）。
参考资料来源：百度百科——完全平方数
果一个正整数 a 是某一个整数 b 的平方，那么这个正整数 a 叫做完全平方数。零也可称为完全平方数。其性质如下：
（1）平方数的个位数字只能是 0， 1，4，5，6，9 。
（2）任何偶数的平方一定能被 4 整除；任何奇数的平方被 4(或 8)除余 1，即被4 除余 2 或 3 的数一定不是完全平方数。
（3）完全平方数的个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数。完全平方数的个位数字是 6 时，其十位数字必为奇数。
（4）凡个位数字是 5 但末两位数字不是 25 的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个 0 的自然数不是完全平方数；个位数字是 1，4，9 而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
（5）除 1 外，一个完全平方数分解质因数后，各个质因数的指数都是偶数，如果一个数质分解后， 各个指数都为偶数， 那么它肯定是个平方数。 完全平方数的所有因数的总个数是奇数个。因数个数为奇数的自然数一定是完全平方数。
（6）若质数 p 整除完全平方数 a，则
|a。
（7）如果 a 、b 是平方数， a=bc ，那么 c 也是完全平方数。
（8）两个连续自然数的乘积一定不是平方数，两个连续自然数的平方数之间不再有平方数。
（9）如果十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之也成立。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
（10）偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
（11）奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。（奇数：n比那个所乘的数-1；偶数：n比那个所乘的数-2）
（12）形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
（13）不是5的因数或倍数的数的平方为5k+-1型，是5的因数或倍数的数为5k型。
（14）形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。
（15）性质11：如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。
（16）在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数。
（17）一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数（包括1和n本身）。
完全平方数是非负数，而一个完全平方数的项有两个。注意不要与完全平方式所混淆。
如果一个正整数 a 是某一个整数 b 的平方，那么这个正整数 a 叫做完全平方数。零也可称为完全平方数。
扩展资料
完全平方数的性质如下：
1、平方数的个位数字只能是 0， 1，4，5，6，9 。
2、任何偶数的平方一定能被 4 整除；任何奇数的平方被 4(或 8)除余 1，即被4 除余 2 或 3 的数一定不是完全平方数。
3、完全平方数的个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数。完全平方数的个位数字是 6 时，其十位数字必为奇数。
4、凡个位数字是 5 但末两位数字不是 25 的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个 0 的自然数不是完全平方数；个位数字是 1，4，9 而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
5、除 1 外，一个完全平方数分解质因数后，各个质因数的指数都是偶数，如果一个数质分解后， 各个指数都为偶数， 那么它肯定是个平方数。 完全平方数的所有因数的总个数是奇数个。因数个数为奇数的自然数一定是完全平方数。
6、如果 a 、b 是平方数， a=bc ，那么 c 也是完全平方数。
7、两个连续自然数的乘积一定不是平方数，两个连续自然数的平方数之间不再有平方数。
8、如果十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之也成立。
一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如：
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…
观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：
性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
证明 奇数必为下列五种形式之一：
10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9
分别平方后，得
(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1
(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9
(10a+5)=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5
(10a+7)=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9
(10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1
综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明 已知=10k+6，证明k为奇数。因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则
10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6
或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6
即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1
或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3
∴ k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
这是因为 (2k+1)=4k(k+1)+1
(2k)=4
性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1, 3m+2。平方后，分别得
(3m)=9=3k
(3m+1)=9+6m+1=3k+1
(3m+2)=9+12m+4=3k+1
同理可以得到：
性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。
除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题：
一个数的数字和等于这个数被9除的余数。
下面以四位数为例来说明这个命题。
设四位数为，则
= 1000a+100b+10c+d
= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)
= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。
对於n位数，也可以仿此法予以证明。
关於完全平方数的数字和有下面的性质：
性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。
证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式，而
(9k)=9(9)+0
(9k±1)=9(9±2k)+1
(9k±2)=9(9±4k)+4
(9k±3)=9(9±6k)+9
(9k±4)=9(9±8k+1)+7
除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：
性质10：为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。
证明 充分性：设b为平方数，则
==(ac)
必要性：若为完全平方数，=，则
性质11：如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。
证明 由题设可知，a有质因数p，但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。
性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若
n^2 < k^2 < (n+1)^2
则k一定不是完全平方数。
性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。
(二)重要结论
1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；
2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；
3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；
4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；
5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；
6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；
7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；
8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。
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