Question

正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为根号2，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为多少？

详细解答步骤 不要文字叙述 谢谢了

Answer 1

正四面体S-ABC棱长a=√2,各面都是正三角形,
该球是正四面体的外接球,
底面BC上的高AD=(√3/2)*√2=√6/2,
侧棱SA的射影AH=(√3/2)*√2*(2/3)=√6/3,(重心与顶点的距离是中线长的2/3)
根据勾股定理,
正四面体高SH=√(a^2-a^2/3),
SH=2√3/3,
从一条侧棱SC中点E上作垂直平分线EO交高SH于O,
△SOE∽△SCH,SO=R
a*a/2=R*√6/3a,R=√3/2
当棱长是√2时,外接球半径是√3/2,
球的体积V=4πR^3/3=π/2.

Answer 2

最好的办法：
这个几何体就是正四面体，边长为根号2，则这个正四面体可以由边长为1的正方体截出来的，等同于此正方体内接于球，这个球直径就是根号3，体积是2分之根号3π.

Answer 3

连接AC，在三角形SAC中，依题意可知 SA=SC=√2 AC=2
所以三角形SAC的外心为AC的中点
所以此球的半径为1
所以此球的体积为4π/3