Question

线性代数二次型？

写纸上谢谢求步骤

Answer 1

有的二次型可以直接化为规范形，可省去化标准形的过程，比如f(x,y,z)=5x^2+2xy+y^2-4z^2，配方4x^2+(x+y)^2-4z^2。若令u=x,v=x+y,w=z，即x=u,y=u-v,z=w，则f=4u^2+v^2-4w^2，这是标准形。如果令u=2x,v=x+y,w=2z，则直接得规范形f=u^2+v^2-w^2。

由标准形知道正、负特征值的个数，即可直接写出规范形，至于标准形是用可逆的线性变换还是正交变换得到的，对特征值的正负有影响吗？
这个二次型的矩阵是对角矩阵，特征值为-2,3,4，两正一负，所以规范形即得