Question

求这个重积分

rt..D为所给双曲线和直线所围成的区域

Answer 1

先画出 x^2-y^2=1,y=0,y=1,所围成的积分区域
可见该积分区域关于y轴对称
而x^3关于x是奇函数，所以x^3在该积分区域积分为0
x^2 y关于x是偶函数，所以x^2 y在该积分区域的值等于2倍的y轴右侧积分区域的值
1 √y^2 +1
所以原式=2 l dy * l x^2 y dx
0 0
1
=2 l y/3 * (y^2+1)^(3/2) dy
0
1
=(2/15) * (y^2 +1)^(5/2) /
0
=(2/15) (4√2 -1 )

注：l是积分的意思