Question

计算一个和二重积分有关的极限

计算此极限，其中[ ]表示不大于其内的最大整数，n是正整数 提示：将积分区域分解为k^2<=x^2+y^2<(k+1)^2 ,(k=0,1,2,L,n-1) ， 1^2+2^2+L^2+n^2=n/6（n+1）(2n+1)

Answer 1

用z代n将数列极限转化成求函数极限，再用极坐标求二重积分，最后使用罗比达法则，如下：

追问

虽然答案对,,但是我的被积函数是取整函数呀..

追答

做了一次替换，用z代n将数列极限转化成函数极限，它们的极限时相等的。

追问

取整函数就无所谓了？？？？这个不严谨吧,,

追答

关于函数极限与数列极限的关系，高等数学书上有定理，见同济五版37页。

追问

我没问这个呀,,,我就问你那个事怎么体现取整函数的,,我那个事取整函数,.不是仅仅一个括号.

追答

噢噢。。。明白了，我一直以为那是个括号，我再看看哈。
算出来了，如下：

Answer 2

变换坐标系：dσ=dxdy=rdrdθ,r²=x²+y²,x=rcosθ,y=rsinθ
二重积分∫∫[r]dσ=∫∫[r]rdrdθ=∑∫∫krdrdθ(k从0到n-1)，积分限为k²<r²≤(k+1)²
∫∫krdrdθ=k∫dθ∫rdr=kpi[(k+1)²-k²]=k(2k+1)pi;
∑k(2k+1)pi=∑2k²pi+∑kpi=n(n+1)(2n+1)pi/3+n(n+1)pi/2
除以n³极限就为2/3pi

Answer 3

用极坐标变换求得二重积分结果为2pi/3n^.

Answer 4

3L正确。

Answer 5

Jackson嘉
这道题目我也分析了，但学的有限不能给你解答啦
要是选择题的话，我知道选1/3
但我不知道怎么解的，和你一起等着高手来吧

追问

这道题答案是2/3pi。。。。。

追答

哦，我的意思是，
要是选择题的话，我会蒙着选1/3（蒙都没蒙对，呵呵）
我和你一样不会这道题，
我也把这道题转问了
http://zhidao.baidu.com/question/246979541.html