泰4.求一道高数题？
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想到了泰勒展开进行计算
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对∀x∈[0,1]，作二阶泰勒展开
f(0)=f(x)+f'(x)*(0-x)+f''(a)/2*(0-x)^2，其中a∈(0,x)
f(1)=f(x)+f'(x)*(1-x)+f''(b)/2*(1-x)^2，其中b∈(x,1)
两式相减，因为f(0)=f(1)，所以
0=f(1)-f(0)=f'(x)+f''(b)/2*(1-x)^2-f''(a)/2*x^2
f'(x)=f''(a)/2*x^2-f''(b)/2*(1-x)^2
|f'(x)|<=|f''(a)|/2*x^2+|f''(b)|/2*(1-x)^2
<=(1/2)*x^2+(1/2)*(1-x)^2
=(1/2)*(2x^2-2x+1)
=x^2-x+1/2
=(x-1/2)^2+1/4
<=1/2
f(0)=f(x)+f'(x)*(0-x)+f''(a)/2*(0-x)^2，其中a∈(0,x)
f(1)=f(x)+f'(x)*(1-x)+f''(b)/2*(1-x)^2，其中b∈(x,1)
两式相减，因为f(0)=f(1)，所以
0=f(1)-f(0)=f'(x)+f''(b)/2*(1-x)^2-f''(a)/2*x^2
f'(x)=f''(a)/2*x^2-f''(b)/2*(1-x)^2
|f'(x)|<=|f''(a)|/2*x^2+|f''(b)|/2*(1-x)^2
<=(1/2)*x^2+(1/2)*(1-x)^2
=(1/2)*(2x^2-2x+1)
=x^2-x+1/2
=(x-1/2)^2+1/4
<=1/2
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