Question

急！求（x^2-y^2)dx+xydy=0的通解

Answer 1

这是一阶齐次微分方程
(x^2+y^2)dx-xydy=0
dy/dx=(x²+y²)/(xy)
dy/dx=((x/y)²+1)/(x/y)
令u=y/x
则dy=du*x+dx*u
dy/dx=(du/dx)*x+u
代入得
(du/dx)*x+u=(u²+1)/u=u+1/u
du/dx=1/(xu)
u*du=dx/x
两边积分得
(1/2)u²=lnx+c
将u=y/x回代
(1/2)(y/x)²=(lnx)+c
y²=2x²((lnx)+c)
这是该微分方程的通解~

Answer 2

求（x²-y²)dx+xydy=0的通解
解：xydy=(y²-x²)dx；两边同除以xydx，得dy/dx=(y/x)-(x/y)............(1)；
令y/x=u，则y=ux...................(2)，
dy/dx=x(du/dx)+u，代入(1)式得：
x(du/dx)+u=u-(1/u)，化简得x(du/dx)=-1/u；
分离变量得udu=-dx/x；积分之得(1/2)u²=-lnx+lnC=ln(C/x)；
故得u²=ln(C/x)²，u=√[ln(C/x)²]；
代入(2)式即得通解为y=x√[ln(C/x)²].