Question

求数学答案:求方程y'+2xy=4x的通解

Answer 1

解：y'+2xy=4x的齐次方程为：
y'+2xy=0
dy/dx=-2xy
1/ydy=-2xdx
y=exp(-x^2)
原方程的解的形式为：
y=exp(-x^2)h(x)
代入：
[exp(-x^2)h(x)]'+2xexp(-x^2)h(x)=4x
-2xexp(-x^2)h(x)+exp(-x^2)h'(x)+2xexp(-x^2)h(x)=4x
exp(-x^2)h'(x)=4x
h'(x)=4xexp(x^2)
h(x)=∫4xexp(x^2)dx=2∫exp(x^2)dx^2=2exp(x^2)+c
所以，原方程通解为：
y=[2exp(x^2)+c]exp(-x^2)
=2+cexp(-x^2)

Answer 2

该方程属于一阶微分方程的一阶线性方程，他有求解公式。
依照公式，求解如下：
y=e-∫2xdx*(c+∫4x*e
∫2xdx
dx)
=e^(-x^2)*(c+4∫x*e^2x
dx)
=e^(-x^2)*(c+2∫*e^2x
dx^2)
=e^(-x^2)*(c+2e^2x
)
=c*e^(-x^2)+2