Question

向量的内积 ，正交向量组

设a1=（1，2，3）^T，求非零向量a1,a2,使得向量组a1,a2,a3为正交向量组。
上面错了是
设a1=（1，2，3）^T，求非零向量a2,a3,,使得向量组a1,a2,a3为正交向量组。

Answer 1

思路：利用正交性，将问题转化为：
1. 求解一个齐次线性方程组的基础解系；
2. 然后再将该基础解系与α1一起构成向量组；
3. 最后再正交化。
解：设x = (x1，x2，x3)与 α1 正交，
则，x1 + 2x2 + 3x3 = 0
解得基础解系为(-2，1，0)，(-3，0，1)
将(1，2，3) ，(-2，1，0)、(-3，0，1)正交化得:
α1 = (1， 2，3)
α1 = (-2，l，0)
α3 = (-3，-6，5)
这一向量组即为所求的正交向量组.

追问

x1 + 2x2 + 3x3 = 0
解得基础解系为(-2，1，0)，(-3，0，1)
这里不懂，怎么得来的？

追答

至于你追问的基础解系：分别令 x2 和 x3 ＝0，求出另外两个的分量的关系就可以了：
比如当x2 = 0时，得到 ( - 3, 0, 1) ------实际上凡是乘不为0的任何系数，都是基础解系
当x3 = 0时，得到 ( - 2, 1, 0)

补充1：正交化方法----施密特方法:
Schmidt正交化方法是将一组线性无关的向量α1，α2，……，αk，作如下的线性变换，化为一组与之等价的正交向量组： β1， β2，……，βk，的方法：
β1 ＝ α1
β2 ＝ α2 - [β1，α2] / [β1，β1] β1
*----其中[ ]表示点积，就是对应先乘再求和
β3 ＝ α3 - [β1，α3] / [β1，β1] β1 - [β2，α3] / [β2，β2] β2
……
βk ＝ αk - [β1，αk] / [β1，β1] β1 - [β2，αk] / [β2，β2] β2
.............- [β(k-1)，αk] / [β(k-1)，β(k-1)] β(k-1)

对于此题目，要正交化下面三个：
α1 = (1，2，3)
α2 = (-2，1，0)
α3 = (-3，0，1)

β1 = α1 ＝(1，2，3)
β2 = (-2，1，0) - [1*(-2) + 2*1 +3*0] / [(-2)^2 + 1^2 +0^2] *(1，2，3)
= (-2，1，0) - 0 *(1，2，3)
= (-2，1，0)
β3 = α3 - [β1，α3] / [β1，β1] β1 - [β2，α3] / [β2，β2] β2
= (-3，0，1) - [-3 + 0 + 3] /[1^2 + 2^2 + 3^2] *(1，2，3)
- [ 6 + 0 + 0] /[(-2)^2 + 1^2 + 0^2] *(-2，1，0)
= (-3，0，1) - 6/5 *(-2，1，0)
= (-3/5，-6/5，1)
我前面用β3 =(-3，-6，5)表示了，你继续整理一下，写成竖方向的----列向量形式，容易些

Answer 2

a1,a2,a3为正交向量组,即求a2,a3满足a1,a2,a3两两点乘为0。事实上，满足这样的a2,a3是有无数多个的（毕竟不是求单位正交向量组），不妨设a2=（1,1，-1），可以验证a1*a2=1*1+1*2-1*3=0.
设a3=（1,b,c),使得a3与a1,a2构成的平面垂直。
a1*a3=1+2b+3c=0
a2*a3=1+b-c=0
可求得a3=(1,-4/5,1/5)
基础解系不同,,a2,a3自然就不同了，楼下的方法也对，不过似乎麻烦，还要斯密特正交化。

Answer 3

xaywgchx 的回答是对的 只是求基础解系的方法说的不对 解的对
基础解系是这样求的: 对自由未知量,比如x2,x3 分别取 1,0 和0,1 (目的是它们线性无关 比如 1,0 和0,5 也行)
解出x1来构成的向量 就是基础解系

你采纳他的吧 辛苦帮你做的 ^_^