Question

已知直线L1为曲线y=x的平方，在点〈1，1〉处的切线，L2为该曲线的另一条切线，且L1垂直L2。（1）求直线L1

已知直线L1为曲线y=x的平方，在点〈1，1〉处的切线，L2为该曲线的另一条切线，且L1垂直L2。（1）求直线L1与L2的方程 （2）求直线L1，L2与x轴所围成的三角形的面积

Answer 1

（1）经过点（1，1），设L1的方程为y-1=k（x-1），与y=x^2联立成方程组，
得到方程：x^2-kx+k-1=0，因为相切，所以只有一个解，
因此k^2-4(k-1）=0，所以k=2，
所以L1的方程为：y=2x-1.。
L1垂直L2，则L2的斜率为-1/2，设其方程为y=-1/2x+b，代入y=x^2，
得到x^2+1/2x+b=0，同样只有一个解，所以（1/2）^2-4*1*b=0，解得b=1/16，
所以L2的方程为y=-1/2x+1/16。
（2）直线L1，L2与x轴的交点分别为（1/2，0）和（1/8，0），
直线L1与L2的交点为（17/40，-3/20），
所求面积=1/2*(1/2-1/8)*|-3/20|=1/320

Answer 2

二次曲线为：y=x^2
L1:y=kx+b, 切线表示kx+b=x^2在 x=1有重根。所以得k=2,b=-1.
L1:y=2x-1
L2与L1垂直: y=-1/2x+t, -1/2x+t=x^2重根为x=-1/4,t=-1/16.
L2: y=-1/2x-1/16.
L1与X轴交点（1/2,0),L2与X轴交点 (-1/8,0),L1,L2的交点（3/8,-1/4)
面积=(1/2+1/8)x1/4/2=5/64.

Answer 3

Y=x2
Y’=2x
斜率k =y’|x=1=2
过点（1,1）
所以y-1=2(x-1)
即L1: y=2x-1
L2: k’=-½ 即y’=2x’=-½
X’=-1/4
切点为（-1/4,1/16）
L2 : y-1/16=-1/2(x+1/4)
所以
L2: y=-1/2x-1/16
2)y=2x-1
Y=0
P(1/2,0)
Y=-1/2x-1/16 y=0
Q(1/8,0)
|PQ|=3/8
令交点为N 所以N(3/8，-1/4)
三角形高h=1/4
S=1/2*3/8*1/4=3/64