Question

一阶齐次微分方程不能用一阶线性公式算么？假设dy/dx+y/x=3，P(x)=1/x,Q(x)=3

Answer 1

将P(x)=1/x,Q(x)=3
代入公式，直接求解。这是可以的。
一般情况下，所给的微分方程都不是那种你一眼就看出的一阶非齐线性微分方程，但我们一旦通过几步运算后能化成一阶非齐线性微分方程，就可以直接用公式求解了。
比如下面这个题
（x³＋y³）dx-3xy²dy＝0
3xy²dy=（x³＋y³）dx
dy/dx=x^2/3y^2+y/3x
(y^2)dy/dx-(y^3)/3x=x^2/3
令y^3=u，上式可化为
(1/3u)'-u/(3x)=x^2/3
即u'-u/x=x^2.................(.#)
(.#)是一阶非齐线性微分方程
在这里
P(x)=-1/x
Q(x)=x^2
代入公式,得u=......
然后把y^3替换u就完成了！

Answer 2

可以，因为它也是齐次方程
设y/x=u
y=ux
dy/dx=u+xdu/dx
原式变为：
u+xdu/dx+u=3
xdu/dx=3-2u
du/(u-3/2)=-2/xdx
积分得
ln|u-3/2|=-2ln|x|+ln|c|
所以
u-3/2=c/x²
即
y/x-3/2=c/x²
y=c/x+3/2x

Answer 3

有几点要先弄明白
（1）微分方程的通解不一定包含它的所有解，有些特殊解不包含在通解中。
（2）利用初等方法（初等积分法）求解微分方程，通常要进行乘除因式的变形，因此可能产生增解与失解，严格的说必须充分考虑，但是在高等数学（非数学专业）中主要为了强调方程归类解法，通常不苛求同学如此严密解题，目的是突出方法，简化过程。
从书上例题你可以看到，书本上还有很多地方作乘除、换元也不加以讨论的。