Question

超难几何题目

Answer 1

请阅读，希望给予启示
托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
　　　　在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD
∠ABE=∠
ACD
　　因为△ABE∽△ACD
　　所以
BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD
(1)
　　又有比例式AB/AC=AE/AD
　　而∠BAC=∠DAE
　　所以△ABC∽△AED相似.
　　BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD
(2)
　　(1)+(2),得
　　AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC
　　又因为BE+ED≥BD
　　（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）
　　所以命题得证
　　复数证明
　　用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。
首先注意到复数恒等式：
(a
−
b)(c
−
d)
+
(a
−
d)(b
−
c)
=
(a
−
c)(b
−
d)
，两边取模，运用三角不等式得。
等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。
四点不限于同一平面。
平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式