Question

xy的二重积分

计算二重积分,
（1）计算二重积分 ∫∫xydσ,其中D是由两条抛物线y=x½,y=x²所围成的闭区间
D
（2）计算二重积分 ∫∫xydσ,其中D是由抛物线y²=x与直线y=x-2所围成的闭区间
D
D是在第二个积分符号下面，第二个积分符号比第一个小

Answer 1

（1）原式=∫xdx∫ydy

=1/2∫x(x-x^4)dx

=1/2∫(x²-x^5)dx

=(1/3-1/6)/2

=1/12。

（2）原式=∫ydy∫xdx

=1/2∫y[(y+2)²-y^4]dy

=1/2∫(4y+4y²+y³-y^5)dy

=1/2(2y²+4y³/3+y^4/4-y^6/6)│

=45/8。

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

Answer 2

（1）原式=∫xdx∫ydy
=1/2∫x(x-x^4)dx
=1/2∫(x²-x^5)dx
=(1/3-1/6)/2
=1/12；
（2）原式=∫ydy∫xdx
=1/2∫y[(y+2)²-y^4]dy
=1/2∫(4y+4y²+y³-y^5)dy
=1/2(2y²+4y³/3+y^4/4-y^6/6)│
=45/8.