Question

在直角坐标系xOy中，已知∠α终边上有一点P（2cosθ+1，2cos2θ+2），角β的终边上有一点Q（cosθ，-1），

在直角坐标系xOy中，已知∠α终边上有一点P（2cosθ+1，2cos2θ+2），角β的终边上有一点Q（cosθ，-1），其中θ∈[0，π]，若│α-β│=π/2.，求θ的值

Answer 1

实际上，已知的2点与坐标原点连成的三角形为直角三角形，根据勾股定理得：
[(cosθ)^2+(-1)^2]+[(2cosθ+1)^2+(2cos2θ+2)^2]=[(2cosθ+1-cosθ)^2+[2cos2θ+2+1)^2]
(cosθ)^2+1+(2cosθ+1)^2+(2cos2θ+2)^2=(cosθ+1)^2+[2cos2θ+3)^2
(2cosθ+1)^2=2cosθ+4cos2θ+5
4(cosθ)^2+2cosθ=4cos2θ+4
4(cosθ)^2+2cosθ=4[2(cosθ)^2-1]+4
4(cosθ)^2+2cosθ=8(cosθ)^2
4(cosθ)^2-2cosθ=0
cosθ(2cosθ-1)=0
1:cosθ=0，θ=0或者θ=π
2:cosθ=1/2，θ=π/3
验算：
1:cosθ=0，θ=0时，P(3,4)，tg∠α=4/3
Q(1,-1)，tg∠β=-1
tg∠α*tg∠β≠-1
显然二者不垂直

cosθ=0，θ=π时，P(-1,4)，tg∠α=-4
Q(-1,-1)，tg∠β=1
tg∠α*tg∠β≠-1
显然二者不垂直

2：cosθ=1/2，θ=π/3时，P(2,1)，tg∠α=1/2
Q(1/2,-1)，tg∠β=-2
tg∠α*tg∠β=-1
二者垂直

答：θ=π/3