Question

(2)如图2,四边形ABCD中，AB=BC，角ABC=60度，P为四边形ABCD内一点，且角APD=120度

Answer 1

（1）证明：连接BD，延长BC到点E，使CE=CD，连接DE∵AB=AD，∠ABD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，AD=BD，又∵∠BCD=120°CE=CD，∴∠DCE=180°-∠BCD=60°，∴△DCE是等边三角形，∴∠CDE=∠ADB=60°，DC=DE，∴∠ADC=∠BDE，在△ACD和△BDE，DC＝DE∠ADC＝∠BDEAD＝BD，∴△ACD≌△BDE（SAS），∴AC=BE=BC+CE，即AC=BC+CD．（2）把线段AP绕点A逆时针旋转60度，到AQ．连接AC、PQ，∴AP=AQ，△APQ为正三角形，∴∠QAP=60°，QP=AP，又∵∠APC=120°，∴∠APC+∠APQ=180°，则C，P，Q在同一条直线上．∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC为正三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC，∴∠ABC+∠PAC=∠QAP+∠PAC，即∠QAC=∠PAB，△ABP≌△ACQ（SAS），PB=QC=PA+PC，在△PDB中，PB+PD≥BD，即PA+PC+PD≥BD．

Answer 2

延长dp至m，使pm＝pa
连接am、bm、ac
因为∠apd=120°
故：∠apm＝60°
故：△pam为正△，故：am＝pm＝pa；∠pam＝∠apm＝60°
又：ab=bc,∠abc=60°,
故：△abc为为正△，故：ac＝ab；∠bac=60°,
故：∠bam＝∠bac－∠mac＝60°,－∠mac＝∠pam－∠mac＝∠pac
故：△bam≌△cap（sas）
故：mb＝pc
又：在△bmd中，bm＋dm＞bd，即：bm＋pm＋pd＞bd（如果b、d、m三点共线，则可以等于）
故：pa+pd+pc≥bd