Question

导数与微分有何关系？

Answer 1

lz好，这句话是对的。
但是从更严格的数学定义来说，导数的定义是：当自变量的变化趋于零时，函数值的变化与自变量的变化的比值的极限。因而导数可以理解为“函数的微分与自变量的微分之商”（这里“函数值的变化、自变量的变化”分别理解为“函数的微分、自变量的微分”）。
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Answer 2

可微->可导：
若y=??(x)在点x0处可微
由微分定义知，Δy=??(x0+Δx)-??(x0)=AΔx+o(Δx)，
Δy/Δx=(??(x0+Δx)-??(x0))/Δx=(AΔx+o(Δx))/Δx=A+o(Δx)/Δx，
Δx->0,lim
o(Δx)/Δx=0
所以Δx->0,lim
Δy/Δx=(??(x0+Δx)-??(x0))/Δx=A
所以y=??(x)在点x0可导,且??(x)在点x0处的导数为A。
可导->可微:
若y=??(x)在点x0处可导
则Δx->0,lim
Δy/Δx=(??(x0+Δx)-??(x0))/Δx
=??(x)在点x0处的导数。
由极限与无穷小量的
关系
知：
Δy/Δx=(??(x0+Δx)-??(x0))/Δx
=
??(x)在点x0处的导数
+
a
其中Δx->0,lim
a
=
0,所以
Δy=??(x0+Δx)-??(x0)=??(x)在点x0处的导数*Δx
+
aΔx
又因Δx->0,lim
aΔx/Δx=0
所以aΔx是比Δx高阶的无穷小量，完全符合微分的定义。