Question

线性代数 r(A)=n-1 行列式A为什么等于0

Answer 1

秩的定义是矩阵中非0子式的最高阶数，如果矩阵A是n阶矩阵，在矩阵内元素都是非0的情况下，它的秩最高是n，换句话说就是r（A）=n；但是如果已知r（A）＜n的，说明在矩阵内存在某行或列全部为0，此时A的行列式值为0；r（A）=n-1的意思就是n阶矩阵内，有一行或者一列其内元素全部为0，所以此时A的行列式值为0

Answer 2

利用了以下结论：
1、n元齐次线性方程组ax=0的基础解系中的向量个数是n-r(a)，也就是基础解系的秩是n-r(a)；
2、向量组i由向量组ii线性表示，则向量组i的秩小于等于向量组ii的秩。
根据ab=0可知b的列向量都是方程组ax=0的解，所以b的列向量组可以由ax=0的基础解系线性表示，所以b的列向量组的秩≤n-r(a)，又b的列向量组的秩等于r(b)，所以r(b)≤n-r(a)。