Question

a的平方+b的平方+c的平方-ab-bc-ac=1/2【（a-b）的平方+（b-c）的平方+（c-a）的平方】

1.检验等式的正确性
2.若a=2009，b=2010，c=2011，求a的平方+b的平方+c的平方-ab-bc-ac的值
3.当a.b.c满足什么条件时，a的平方+b的平方+c的平方-ab-bc-ac≤0成立

Answer 1

1)
左边=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac
=(1/2)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac)
=(1/2)[(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)]
=(1/2)[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2]
=右边
所以等式成立

2）因为a=2009，b=2010，c=2011
所以a-b=2009-2010=-1,
b-c=2010-2011=-1,
a-c=2009-2011=-2,
所以a的平方+b的平方+c的平方-ab-bc-ac
=（1/2）[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2]
=（1/2）*(1+1+4)=3

3)因为a的平方+b的平方+c的平方-ab-bc-ac
=（1/2）[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2]
[(a-b)^2≥0，(b-c)^2≥0，(a-c)^2≥0，
所以（1/2）[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2]≥0
所以当a-b =0，b-c=0,a-c=0,
即a=b=c时，a的平方+b的平方+c的平方-ab-bc-ac=0，
但不会小于0

Answer 2

1, 右边=1/2[a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+c^2]
=1/2[2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac]
=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=左边
2.a的平方+b的平方+c的平方-ab-bc-ac
=1/2[【（a-b）的平方+（b-c）的平方+（c-a）的平方]
=1/2【1+1+4】=3
3. a的平方+b的平方+c的平方-ab-bc-ac≤0
1/2【（a-b）的平方+（b-c）的平方+（c-a）的平方】<=0
又因为 1/2【（a-b）的平方+（b-c）的平方+（c-a）的平方】>=0
所以a的平方+b的平方+c的平方-ab-bc-ac
=1/2【（a-b）的平方+（b-c）的平方+（c-a）的平方】=0
所以a=b=c

Answer 3

1，右边展开合并就可以得到左边，等式正确
2，因为左右相等，用右边的式子计算不难得到结果1.5
3，同样用右边的式子分析，结果必然大于等于0，所以仅当等于0的情况成立，此时a=b=c