Question

高等数学 请教一个多元函数求定积分问题

Answer 1

若du=F(x)dx+G(y)dy的形式，你的做法会是对的，但是一般不能两边同时积分。因为：在du＝...dx+..dy的这种结果中，x,y同为变量，而两边同时积分时，所有的积分都是不定积分，所以x与y必有一个被看作常量。
第一种做法是答案的做法，实际上就是“凑微分”，利用微分的运算法则和公式。
第二种做法称为偏积分法（有的书上也称为不定积分法），根据du的表达式，得到偏导数αu/αx，αu/αy，然后对x或y进行不定积分。
本题为例，αu/αx＝xy+yf(x)=y，两边对x积分，得u(x,u)=xy+φ(y)，φ(y)待定，它起的作用就是不定积分的任意常数。
再根据αu/αy＝f(x)+y²=x-1+y²，代入u(x,u)=xy+φ(y)，得x+φ'(y)＝x-1+y²，所以φ'(y)＝-1+y²，积分得φ(y)＝-y+1/3*y^3+C。
所以，u(x,y)=xy--y+1/3*y^3+C。
第三种做法是曲线积分法，学到后就知道了。