Question

一道全国高考I卷数学题求解

如图，四棱锥S-ABCD中，SD 底面ABCD，AB//DC，AD DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC 平面SBC .（Ⅰ）证明：SE=2EB；（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小。(要求是建立坐标做)这是一道2010年全国高考题

Answer 1

建立坐标系的步骤我不说了，AD是x轴，DC是y轴，SD 是z轴。
1,设E（a,b,c）
则向量SC=（0,2，-2），SB=（1,1，-2）容易求出SBC法向量n1=(1,1,1)
DC=(0,2,0),DE=(a,b,c)，求出EDC法向量n2=(c,0,-a)
n1*n2=c-a=0,所以a=c
而E在SB上，所以a/1=b/1=2-c/ 2,解为a=b=2/3，所以SE=2EB
2.第一问可以得知EDC法向量是（2/3,0,-2/3），注意取z轴坐标为负
同时可以求得ADE的法向量是（0,1，-1），注意取z轴坐标为负
二面角公式得到夹角余弦为1/2,夹角是π/3