Question

已知抛物线y2=4x的弦AB的中点的横坐标为2,则|AB|的最大值为

Answer 1

抛物线y2=4x的弦AB的中点到准线x=-1的距离=2+1=3，设抛物线y2=4x焦点为F，点A、B到准线x=-1的距离分别为d1、d2，则d1+d2=2×3=6，由抛物线定义，得|AF|=d1，|BF|=d2，所以：
|AF|+|BF|=6，在△ABF中，|AB|<|AF|+|BF|=6,当A、B、F三点共线时，|AB|=|AF|+|BF|=6
综上，知:|AB|≤|AF|+|BF|=6，即|AB|的最大值为6。

Answer 2

已知抛物线y2=4x的弦AB的中点的横坐标为2,则|AB|的最大值为多少？
解：当AB和x轴垂直时，将x=2代入y²=4x，解得y=±2√2
所以此时AB=4√2
当AB不和X轴垂直时，设直线AB为y=kx+b代入y²=4x
化简：k²x²+(2kb-4)x+b²=0
韦达定理：x1+x2=(4-2kb)/k²,x1*x2=b²/k²
根据题意x1+x2=4，所以(4-2kb)/k²=4即b=(2-2k²)/k
由弦长公式：AB=√(1+k²)[(x1+x2)²-4x1x2]
AB=4√[2+(k²-1)/k^4]
当k²>1即k>1或k<-1时，AB无最大值
k²<1即-1<k<1，(k²-1)/k^4<0,那么0<AB≤4√2
此时还应该考虑根号里大于0的情况，此时1>k≥√2/2或-1<k≤-√2/2,就是(k²-1)/k^4≥-2

Answer 3

直线AB x=my+b
A(x1,y1) B(x2,y2) x1+x2=4
y^2=4x
y^2-4my-4b=0 y1+y2=4m y1y2=-4b

x1=my1+b
x2=my2+b x1+x2=m(y1+y2)+2b=4 2m^2+b=2 b=2-2m^2
|AB|=√(1+1/m^2)*√[(y1+y2)^2-4y1y2]
=√(1+m^2)*√[16m^2+16b]
=√(1+m^2)*√[16m^2+16b]
=4√(-m^4+m^2+2)
=4√[-(m^2-1/2)+9/4)
当m^2=1/2时,即m=±√2/2时 |AB|的最大
|AB|的最大值为 6

Answer 4

假设两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2）；根据抛物线的形状，y1与y2异号，假设y1<0
y1^2=4x1,y2^2=4x2,(x1+x2)/2=2
|AB|^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2 将上面3式代入，|AB|^2=-4(4x1-x1^2)+8√(4x1-x1^2)+32
设a=√(4x1-x1^2) 当a=1时，|AB|最大，为6，此时x1=2-√3